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Bitte beachten, dass der folgende Text wahrscheinlich Hinweise auf die Lösungen enthalten kann.
Während diese Applikation einem gemischten Lizenzmodell unterliegt, ist die Idee oder Konzept eines magischen Quadrates gemeinfrei, also rechtlich nicht geschützt. Ein namhaftes Beispiel, aber nicht das erste bekannte magische Quadrat, ist in einem Kupferstich namens Melencolia § I von Albrecht Dürer gezeigt. Das magische Quadrat kann im rechten oberen Teil des Drucks vom Kupferstich gefunden werden. Es sind durchaus aber auch ältere Darstellungen von anderen magischen Quadraten bekannt.
![Melencolia § I by Albrecht Dürer [Public domain], via Wikimedia Commons](img/melencolia_i_durero.jpg)
Dürers Werk ist sicherlich ein schönes Beispiel, um zu zeigen, wie Ästhetik, Kunst und die Sprache der Mathematik sich auf der Suche nach Perfektion ergänzen. Erwähnenswert hierbei ist auch, dass, wahrscheinlich beabsichtigt, die untersten mittleren zwei Quadrate des Magischen Quadrats die Jahreszahl der Entstehung des Kupferstichs zeigen.
![Magic square in Melencolia § I by Albrecht Dürer [Public domain], via Wikimedia Commons](img/albrecht_duerer_-_melencolia_i_detail.jpg)
Das zusätzlich magische an Dürers Quadrat ist, dass die Zeilensummen, Spaltensummen und die Summen der Diagonalen einander gleichen.
Die magischen Quadrate in dieser Applikation haben unterschiedliche Größen. Die Größe des quadratischen Spielbretts wird durch die Anzahl der Felder pro Reihe angegeben. Beträgt die Größe acht Felder, so besteht das quadratische Spielbrett insgesamt aus 64 Positionen, um zweifarbige Kacheln darauf zu platzieren. Die Anzahl der verfügbaren unterschiedlichen Farben entspricht immer der Größe des Spielbretts. Jede der vorhandenen Kacheln zeigt eine einmal vorhandene Kombination aus Außenfarbe und Innenfarbe.
Benutzt man statt Farben als Attributsrepräsentation die Sequenz der natürlichen Zahlen bei 1 beginnend, so können die Euler'schen Quadrate auf einfache Weise in den bei Dürer gezeigten Typ magischer Quadrate umgewandelt werden. Das könnte bereits ein wertvoller Lösungshinweis sein. Wie bekommt man daraus die entsprechenden Zahlen? Nach der Ersetzung der Farben durch natürliche Zahlen kann man die Zahl für die Außenfarbe mit der Größe des Spielbretts multiplizieren und die Zahl für die Innenfarbe addieren. Et voilà...
Das sollte immernoch kompliziert genug sein, um hiermit hoffentlich nicht alles zu verraten.
Das Prinzip unabhängige magische Quadrate zu überlagern und dies othogonal (durch Repräsentation der äußeren und inneren Farbe in diesem Spiel) zu bezeichnen, war bereits bekannt, bevor Leonhard Euler dies für sich thematisierte. In der Literatur findet man diese referenziert als griechisch-latinische Quadrate. Die zwei Attribute werden dabei häufig als lateinische und griechische Buchstaben gezeigt. Blendet man das zweite Attribut aus, so spricht man von latinischen Quadraten.
Ein Ergebnis Leonard Eulers — wieder gemeinfrei — ist es, dass er Methoden untersuchte, solche griechisch-latinischen Qadrate zu lösen. Dabei vermutete er, dass griechisch-latinische Qadrate der Größen 2+4⋅n ∀ n∈N (also 2x2, 6x6, 10x10, et cetera) keine Lösung besitzen.
![Leonhard Euler by Jakob Emanuel Handmann [Public domain], via Wikimedia Commons](img/leonhardeulerhandmann.jpg)
Es gibt die Legende, dass Katharina die Große einst Leonhard Euler bat, eine Lösung zu finden, wie 36 Offiziere von jeweils sechs verschiedenen Rängen und von sechs verschiedenen Regimenten, so aufgestellt werden könnten, so dass, jeder Rang und jedes Regiment, in einem Quadrat der Größe 6 aufgestellt, pro Reihe und Spalte exakt einmal vorkommen.
![Catherine II, the Great [Public domain], via Wikimedia Commons](img/katharina_die_grosse.jpg)
Aber zurück zur populären 10x10 Version dieses Rätsels. Eulers Vermutung wurde erst durch einen niedergeschriebenen abschließenden Beweis 180 Jahre nach der Formulierung dieser Vermutung widerlegt, obwohl es wiederholt zwischenzeitlich Versuche eines Beweises der Vermutung gab. R.C. Bose, S.S. Shrikhande und E.T. Parker publizierten dann 1960 einen Beweis, der Eulers Vermutung als inkorrekt für Größen 2+4⋅n ≥ 10 widerlegte.
Für denjenigen, der bereits Lösungen zum Euler'schen Quadrat gefunden hat: Wie viele Lösungen gibt es je Größe des Quadrats?
Viel Spaß und frohes Rätseln...
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Raphaël: MIT